UNA PASSEGGIATA FRA I NUMERI

di Tommaso Scarabelli

Giovedì 20 aprile a Palazzo Garzolini – di Toppo Wassermann il professor Umberto Zannier ha tenuto una conferenza sui numeri, le loro varie specie e la loro storia.

Il professore ha ovviamente cominciato dando una visione generale dei numeri, il primo oggetto della matematica con cui ognuno di noi entra in contatto. Infatti a volte l’intuizione del conteggio avviene prima dell’apprendimento del linguaggio. Essi sono probabilmente i più antichi di ogni altro sistema, tanto che la loro nascita viene individuata decine di migliaia di anni fa.

Come il professore ha affermato, la loro antica origine è dovuta al fatto che con i numeri è possibile prevedere i fenomeni naturali. Inoltre essi possiedono il fascino del poter prevedere infinite situazioni impossibili da analizzare una ad una. Hanno applicazioni in fisica, astronomia, informatica, filosofia, ingegneria, chimica, economia e il calcolo delle probabilità si è dimostrato utile perfino in politica: tutto ciò ha fatto in modo che l’incontro fra numeri e uomini fosse inevitabile.

Un’altra loro caratteristica che può spiegare la loro presenza fin dai tempi antichi è l’attrazione che hanno esercitato e continuano ad esercitare sull’uomo per le loro regolarità.

Ma la qualità dei numeri più importante è la loro universalità. Essi sono indipendenti dal nostro linguaggio e dalle nostre convenzioni: non ci sono molti modi per fare la matematica. Questo significa che anche se venissimo in contatto con una civiltà completamente diversa dalla nostra, la matematica sarebbe comunque una caratteristica comune ad entrambi.

Dopo questa breve introduzione, il professore ha cominciato a elencare alcune grandi classi in cui vengono suddivisi i vari numeri, esponendo anche alcune loro caratteristiche.

I numeri interi sono i primi numeri apparsi  e sono un insieme regolato su particolari proprietà. Queste proprietà includono il fatto che ogni numero abbia un suo successivo e l’induzione. Quest’ultima si può definire come il principio che crea tutti i numeri e perfino Dante ne dà una breve definizione nella Divina Commedia (   Par. XV, 55-57), anche se si riferisce all’uno come Dio:

Tu credi che a me tuo pensier mei           “ … Tu ritieni che il mio pensiero fluisca a me

da quel ch’è primo, così come raia          dall’essere primo (Dio), così come s’irradiano             

dall’un, se si conosce, il cinque e ‘l sei;                        dall’unità, se la si intende a fondo,

                   gli altri numeri;.

 Inizialmente i numeri interi non comprendevano lo zero, il quale rappresenta l’insieme vuoto, che fu aggiunto solo successivamente. Proprio a causa dello zero i Romani avevano un sistema di numerazione così complicato che bisognava ogni volta creare nuovi simboli per nuovi numeri.

Furono gli indiani a introdurre lo zero, creando così 10 simboli per comporre qualsiasi numero. Il nostro sistema infatti viene chiamato sistema additivo basato sulla potenza di 10. La scelta del numero 10 non è casuale: dieci deriva dal latino digitus, che significa dito, poiché indica il numero di dita che abbiamo, che è appunto quello che noi quotidianamente chiamiamo dieci.

Per il nostro sistema contare significa dunque misurare, cioè confrontare, basandosi sulla divisione in 10 unità e misurando poi il resto di questa operazione, che ci permette di ottenere sempre migliori approssimazioni. Per questo ogni singolo numero contiene già in sé l’idea di infinito, che provocò scompiglio fra i Greci.

Tra i numeri interi inoltre sono possibili le operazioni di addizione e moltiplicazione e le loro inverse, cioè di sottrazione e divisione. L’addizione geometricamente viene vista come la somma di due lunghezze di segmenti. La moltiplicazione invece in geometria introduce il concetto di area. Infatti anticamente i Greci non distinguevano aritmetica e geometria e chiamavano questa disciplina aritmogeometria.

I numeri modulari  invece sono legati ai fenomeni periodici, cioè alla periodicità. Essi operano sul resto della divisione fra due numeri nel caso il loro rapporto non si riconduca ad un numero naturale.

I numeri irrazionali derivano  dalla geometria pitagorica per motivare l’operazione di radice, basandosi sul teorema di Pitagora, che regola le 3 lunghezze dei lati del triangolo. Essi non sono razionali.

Solo fra il 400-300 a.C. furono introdotti i numeri irrazionali, fra cui la radice di 2, che esprime la lunghezza. La parola razionale deriva da ratio, rapporto, poiché non nascono da una divisione fra interi (per dimostrarlo si ricorre al concetto di parità dei numeri e questa dimostrazione è considerata fra le più belle dimostrazioni matematiche di sempre). I Greci credevano che tutte le coppie di lunghezze avessero un’unità di misura in comune. Solo fra il 400-300 a.C. furono introdotti i numeri irrazionali, fra cui la radice di 2, che esprime la lunghezza di una diagonale di un quadrato di lato 1.

Un modo per visualizzare la loro “non razionalità” geometricamente è pensare ad una scacchiera infinita e provare a costruire un triangolo equilatero utilizzando tre vertici di questa scacchiera. Il problema è impossibile poiché la costruzione di questo triangolo richiede l’utilizzo della radice di 3, che è appunto un numero irrazionale.

I numeri reali corrispondono a tutte le possibili lunghezze di segmenti.

I numeri complessi invece sono nati dal desiderio di risolvere l’equazione x^2=-1. Geometricamente essi si possono vedere come un ribaltamento sulla linea dei numeri.  Gauss immaginò un piano suddiviso in una parte reale e una parte immaginaria.

Per cogliere meglio questi numeri si può pensare ad intersecare una retta con una circonferenza, dove si ottiene un’equazione di 2°grado, e dove a volte l’equazione risulta impossibile. Le “soluzioni impossibili” si possono identificare come punti di una retta non passante per la circonferenza data.

Un’altra cosa che ai Greci piaceva molto erano i problemi di costruzione con riga e compasso, che permettono di costruire perfino alcuni numeri irrazionali.

I numeri algebrici sono numeri ottenibili dalle 4 operazioni, cioè da polinomi con coefficienti interi (un esempio è la radice cubica di 2).

I numeri costruibili sono invece tutti quei numeri che possono essere costruiti con riga e compasso (la radice cubica di 2 ad esempio non è un numero costruibile). Essi sono numeri algebrici ma non tutti gli algebrici sono costruibili (un esempio è la radice di 2).

Furono Newton, Leibniz ed Eulero i primi a pensare i numeri in termini infiniti, introducendo il concetto di limite. Ad esempio la successione di Eulero, cioè la somma dei reciproci di tutti i quadrati perfetti, corrisponde a (π^2)/6. Interessante è il fatto che Eulero sospettava già che la somma valesse esattamente (π^2)/6, tuttavia lo dimostrò solo successivamente e non vi sono fonti scritte che possano spiegare come Eulero abbia potuto”prevedere” la soluzione.

I numeri trascendenti invece sono numeri irrazionali non algebrici.

Infine esistono numeri surreali, “inventati” da Conway, che pochi conoscono dato che al momento la loro definizione non viene utilizzata. Tuttavia Conway ha affermato che verrà un giorno in cui troveranno anche loro una loro importanza e diverranno fondamentali.